前言
常常搞不清楚几个概念，自己写一写有助于记忆和理解，水平有限，欢迎大家批评指正~
1 连续
个人理解，连续是个局部的概念，一般说函数在某一点x0处，满足那样一个性质，就说这个函数在x0连续。
同济第七版的定义是这样的： 表情包版本的定义是这个样子的： 定义的版本各种各样，但都是想要描述： 控制x与x0的距离，就可以使相应的函数值f(x)离f(x0)就可以要多近有多近。 这个距离多少由x0有关，不同的点这个距离可能不同。 也就是在我们直观上的连续不断的一条曲线的性质。
此外，在区间上连续是这么说的：
“如果在区间上每一点都连续，就称函数在该区间上连续，如果区间包括端点，那么在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。”（同济第七版）
一个解释很清楚的理解：https://zhuanlan.zhihu.com/p/87984703.
2 一致连续
单从定义上与连续比较，少了某一点x0的概念，多了区间I的概念。
也就是说，不论在区间I的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，相应的函数值就可以达到指定的接近程度。 这个一定程度对全体区间上的点都奏效。
举个栗子： f(x)=1/x 在(0,1]上连续，但不一致连续。 问题出在靠近0的地方，取x1 = 1/n, x2 = 1/(n+1), x1，x2之间的距离随着n增大越来越小，但两函数值始终相差1。
不严谨的说，不一致连续是因为函数在区间上有斜率趋于无穷的地方。
3 Hölder连续
百度百科上的定义：
4 Lipschitz连续
定义：对函数 f ( x ) : R → R f(x): R \to R